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第1章 上一章注释001（第3页）

基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=pn（f，g）:Nn+1—N

对于h:

基准条件：h（x1，...xn，0）=f（x1，...，xn）

递归条件:h（x1，...，xn，y+1）=g（x1，...，xn，y，h（x1，...，xn，y））

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add（x，y）=x+y=p1（f，g）

基准条件：add（x，0）=f（x）=proj11

递归条件：add（x，y+1）=g（x，y，add（x，y））=succ（add（x，y）），g=succ·[proj33]

add=p1（proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=p1（zero，add·[proj13，proj33]）

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。

所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”

呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N（这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了），具体的f（a1，...an，x），其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f（5，4，3，2，1，0）=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f（5，4，3，2，1，1）=1

假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N（proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了）

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21（1），其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj21（1，0）=1