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第1章 上一章注释001（第2页）

投影函数：projn:Nn→N，projin（x1，...，xn）=xi。

它接受长度为n的输入，输出第i个自然数。

比如，proj22（1，3）=3。

好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

我们定义一个叫“组合”

的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

f:Nn—N

具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数（x1，...，xm），那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

f·[g1，...，gn]:Nm—N

展开为：

f·[g1，...，gn]（x1，...，xm）=f（g1（x1，...，xm），...，gn（x1，...，xm））

举个栗子：

我们构造一个函数one，one（x）=1，即：不论给它什么输入，它都输出为1，那么：

one（x）=succ（0）=succ（zero（x））

即：succ·[zero]=one

验证一下：

succ·[zero]（x）=succ（zero（x））=succ（0）=1

succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add（x，y）=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

也很简单，从具体输入入手：

add（3，2）=succ（add（3，1））=succ（succ（add（3，0）））=succ（succ（3））

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add（3，0）=3.

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

add（x，y+1）=succ（add（x，y）），这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add（x，y+1），就要知道add（x，0）=x，我们称add（x，0）=x为基准条件；add（x，y+1）=succ（add（x，y））为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add（x，0）=x，就能得到add（x，y+1），也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add（x，0）=x=proj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”

，它的定义是这样的：