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第1章 上一章注释001（第4页）

proj21（1，1）=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。

也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。

除法div需要用最小化操作来构建。

假设，我们收到两参数a和b，想求ab，那么其中存在如下关系：

a=qxb+r，其中0≤r＜b

我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足（q+1）xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：

找到最小的q使其满足（q+1）xb＞a

也就是构造一个函数f:N^3—N

f（a，b，q）=1如果（q+1）b≤a，=0如果（q+1）b＞a

f（a，b，q）=lessthanequal（mult（succ（q），b），a）

f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]

其中lessthanequal=iszero·sub

iszero=sub·[succ·zero，proj11]

sub是减法器

对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。

验证一下：

f（8，5，0）=lessthanequal（mult（1，5），8）=1不等于0，所以0不是输出。

f（8，5，1）=lessthanequal（mult（1，5），8）=0，最小，所以1是输出。

div（8，5）=85=1没错，十分完美。

如果我们想计算一下80:

f（8，0，0）=lessthanequal（mult（1，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。

f（8，0，1）=lessthanequal（mult（2，0），8）=1不等于0，所以0不是输出。

无论我们给f（8，0，x）传入什么x，都找不到最小的x，所以div（8，0）=80无解，符合现实。

如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21（1）和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

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