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第336章 施密特正交化（第1页）

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“数学大帝（.shg.tw）”

！

现在，科学家对“奇点”

已经习以为常，他们知道，这些点是自己的理论不再适用的地方。

但

18世纪的学者尚未意识到这一点，在探讨经典力学中一个非常简单的问题时，他们也遭遇了一个奇点。

为了解决这个经典力学框架下实际上无法解决的问题，包括大数学家欧拉在内的学者们想出了一些稀奇古怪的方法，得出了十分荒谬的结论。

科学家花费了一个世纪才认识到这种研究是徒劳的：在奇点，理论遭遇了其极限。

在天体物理学中，黑洞是一个极为致密的时空区域，没有物质能从中逃逸，甚至连光都不行。

这些特殊的天体代表了时空的奇点，它们是引力的数学理论——广义相对论无法描述的区域。

奇点存在于许多数学领域中，我们在研究曲线和曲面、复变函数以及微分方程时常会遇到它们。

如今，科学家知道奇点通常是超出他们的理论适用范围的。

但过去并非如此，科学家最初遭遇奇点时，甚至给出了一些基于不合理论证的奇怪解决方案。

18世纪时，著名数学家让·勒朗·达朗贝尔（JeanLeRondDAlembert）和莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在研究经典理论力学的一个简单问题时就遇到了奇点，这类似于一维空间中的一个点状黑洞，他们没有想到这个奇点会带来多大的困难。

棘手的问题

这个问题考虑的是一个质点向另一个质点下落的情况。

在经典力学（也叫做牛顿力学）中，为了方便，我们往往借助假想的质点来考虑问题，即一个具有质量的几何点（没有体积或形状）。

根据牛顿引力定律，空间中一个固定位置O（即引力中心）上的质点，对另一个与之相距r的质点P施加的引力与r2成反比。

在r≠0的情况下，这一点是成立的。

但当r变为0时，质点P受到的引力就无法定义了，因此对于点P来说，点O便是奇点所在的位置。

在这里，引力中心O被视为抽象的纯粹几何点，这个点上不存在任何物质实体。

这是一种真实世界中不可能存在的情况。

但这不妨碍我们考虑这样一个数学问题：质点P在O的引力（反比于r2）作用下是如何运动的。

对于这种条件下的质点运动，牛顿在《自然哲学的数学原理》中已经给出了一个模型：假设在某个给定时刻，质点P在O点之外运动，速度不为0且不在直线OP方向上，那么点P将会沿抛物线或双曲线运动，或者以椭圆轨道围绕O旋转，就像那些绕太阳公转的行星那样，并且这三种圆锥曲线的焦点都在O上。

但真正让学者困扰的情况是，当质点P在质点O以外以0初速度释放时，它会直接落向点O。

计算显示，点P会在有限时间内到达点O，此时它的速度会增加到无穷大。

这之后呢？点P到达点O之后会发生什么呢？一方面，P似乎只能越过点O沿着这条直线继续运动，因为它此时运动速度极快。

还有什么能比无穷大的速度更快呢？另一方面，随着点P不断接近点O，它受到点O的引力不断增大。

到点P达到点O时，引力会增长至无穷大，这时点P就无法从点O逃逸出来。

那么，无穷大的速度和并不亚于它的引力，哪一个会占据上风呢？

经典力学领域的权威专家保罗·阿佩尔（PaulAppell）用他自己的方法解决了这个问题。

在他的《经典力学教程》（Coursdemécaniquerationnelle，1888），还有后来著名的《经典力学》（Traitédemécaniquerationnelle，1893）中，他给了一个解释，指出质点P是不可能到达引力中心的，因为“这个运动物体接近点O时，速度无限增加，这显然是无法实现的：在这两个物体距离为0之前，它们会先发生碰撞。”

但是这一解释根本没有回答上文提出的那个纯粹理论问题。

我们都知道，在这个问题里，引力中心仅仅是一个几何学上的点。

达朗贝尔的答案

当时法国最伟大的数学家达朗贝尔，在他的《数学手册》（Opusculesmathématiques，1780）第七卷中论述了这一棘手的问题：“很显然，（质点P）会越过（引力中心），并不断远离，直到它与点O间的距离与它开始运动时的距离相等。

之后，它将重复这个过程，不断振荡。”

也就是说，运动物体P会在直线方向上以引力中心点O为中心来回振荡。

实际上，达朗贝尔刚接触到该问题，就立刻毫不迟疑地得出了这样的结论：运动物体将会越过引力中心继续沿直线运动。