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第336章 施密特正交化（第2页）

他只从动力学方面考虑，由于物体在点O获得无穷大的速度，这个运动必将持续下去。

但他没有考虑到，在点O，引力也会增加到无穷大。

让·勒朗·达朗贝尔认为，在点A释放的质点受到引力中心O的吸引而运动时，会穿过点O，继续运动到点A关于点O的对称点A，然后再掉头回来，在点A和点A之间来回振荡。

在1780年出版的著作中，达朗贝尔给出了质点振荡这个答案，但在同一本书中他也介绍了欧拉得出的另一个答案。

欧拉，这位18世纪最著名的瑞士数学家先于他的法国同行，得出了一个达朗贝尔本身没有想到，但也不信服的结论。

后者在书中写道：“欧拉先生在《力学》（Mécanique）一书中提出，一个直接落向（加速中心O点）的物体，当中心对它的作用力与距离的平方成反比时，会在到达（O）后原路返回。

但很显然，这位伟大的几何学家在这点上是错误的。”

毫无疑问，当时与欧拉关系疏远的达朗贝尔很乐于否定欧拉的结果，他称这个结论很荒谬。

欧拉是怎样得出这个结论的，确实让人好奇，因它太反直觉了，竟然认为物体会在速度无穷大时突然掉头。

这个结论没有考虑两个引起争议的无穷大量，不论是质点P在点O时沿下落方向的速度，还是它在这点受到的引力。

欧拉的奇特结论

借助牛顿曾经用过的方法，欧拉在用拉丁语编写的《力学》（Mechanica，1736）的第一卷中探讨了这一问题。

首先，他假设在初始时刻，质点P位于点A，且有一个垂直于OA方向的初速度VA，因此它的移动轨迹将会是一个椭圆，长轴为AA，O是其中一个焦点。

之后，欧拉假设垂直于OA的速度VA不断减小直到零。

这样，椭圆就会不断变扁，同时点A会不断接近点O，当VA减为零时，椭圆会与线段OA重合。

莱昂哈德·欧拉提出了一个与达朗贝尔不同的结论：他首先设想质点有一个垂直于OA且不为0的速度VA，因此它的运动轨迹会是一个焦点为O，长轴为AA的椭圆。

接着，他减小速度VA，直到它变成0，这样椭圆就会不断变扁，这时，点A就会不断接近点O。

当椭圆扁到极限时，椭圆轨道上的运动就会变为点A和点O之间来回的直线运动，完全不一样了。

通过把轨道的几何形状和点P的运动速度推向极限，欧拉得到了这个奇特的结论。

当然，他这个取极限的方法也没什么根据。

而且就像达朗贝尔那样，欧拉也设定O是抽象的几何点，没有任何实在物体，而要有个物体的话，至少在某种程度上能够证明点P回弹是合理的。

此外，这个解释显然给引力中心赋予了一种斥力，一些牛顿力学的反对者指责椭圆运动中也存在这样的悖论。

他们不理解，为什么每颗行星都会花费一半的时间远离吸引着它的太阳。

拉普拉斯：模棱两可的调和

像欧拉和达朗贝尔这样两个当时最杰出的理论学者，却在这样一个看起来十分普通的力学问题上得出了相反的结论。

显然，这个问题并不简单。

但毫无疑问，他们的后辈很快会尝试终结这场科学争论。

1799年，皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace），这位世纪之交的重要数学家在他的《天体物理》（Traitédemécaniquecéleste）一书中阐述了他的观点。

拉普拉斯先是回顾了不断压扁椭圆，通过取极限来计算物体落向引力中心的运动规律的方法。

接下来，他强调：“朝向焦点的椭圆运动（原文如此）与被压扁到极限的椭圆轨道上的运动有着本质的区别。

在前一种情况下，物体会越过焦点，然后会飞到和起始位置同样远的地方；后一种情况下，物体会经过焦点，然后回到起始点。

若在远日点（点A），物体具有一个运动轨迹切线方向的速度，不管这个速度多小，它都会引起这种差异。

但这种差异不会影响物体抵达焦点所用的时间。”

不论是原文，还是把笔误“椭圆运动”

更正为“直线运动”

之后，这段话都显得十分模糊。

靠着不指名道姓地宣称达朗贝尔（前一种情况）和欧拉（后一种情况）都是对的，拉普拉斯似乎完成了一个壮举，调和了不可调和的矛盾。

实际上，虽然他对达朗贝尔的结论没有任何异议，但是他使用了欧拉的证明方式。

他引入了无穷扁的椭圆这一有趣的概念，意思就是说，这是一种我们能想象到的最扁的椭圆，但它没有彻底变扁，没有变成欧拉所说的线段。

拉普拉斯始终在他的言论中保持着一种模棱两可，他说“物体达到焦点”