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第269章 黎曼罗赫定理（第1页）

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“数学大帝（.shg.tw）”

！

在1900年8月巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。

他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。

他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

（1）康托的连续统基数问题。

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。

1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。

1963年，美国数学家科恩（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。

因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。

在这个意义下，问题已获解决。

（2）算术公理系统的无矛盾性。

欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。

希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。

根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。

1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。

1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。

后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。

但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

（7）某些数的超越性的证明。

需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。

苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。

但超越数理论还远未完成。

目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。