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第269章 黎曼罗赫定理（第3页）

一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。

希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。

现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。

但严格的基础至今仍未建立。

（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。

后半部要求讨论备dxdy=YX的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。

对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N（2）≥1；1952年鲍廷得到N（2）≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N（2）≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。

关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。

1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。

1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。

1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且（!，3）分布，但证明有误，至今二次系统的问题尚未解决。

（17）半正定形式的平方和表示。

实系数有理函数f（x1，…，xn）对任意数组（x1，…，xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

（18）用全等多面体构造空间。

德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

（20）研究一般边值问题。

此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。

日前还在继读发展。

（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

此问题属线性常微分方程的大范围理论。

希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。

1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

（22）用自守函数将解析函数单值化。

此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。

其它方面尚未解决。

（23）发展变分学方法的研究。

这不是一个明确的数学问题。

20世纪变分法有了很大发展。