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数学大帝第421章 格罗滕迪克非阿贝尔代数几何学（第1页）

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“数学大帝（.shg.tw）”

！

格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。

格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。

格罗滕迪克发现概形理论也有概括不了的东西。

1928年3月28日，格罗滕迪克出生于德国柏林的一个犹太家庭，他在开始其数学研究的生涯时，所研究的领域是泛函分析中的拓扑线性空间。

在这之后，格罗腾迪克投入到了同调代数的研究中。

也是在那个时期，他开始了与塞尔的长期著名通信。

从塞尔以及其他的数学家那里，格罗滕迪克学到了许多现代数学和代数几何的基本知识，转而对代数几何和数论产生了浓厚的兴趣。

他研究建立代数几何基础理论的强烈动机之一其实也是为了想证明那个与黎曼猜想类似的有限域上高维代数簇的韦依猜想。

前面曾经谈到在仿射代数簇和它的坐标环之间有一一对应的关系，因此对仿射代数簇的几何研究也就可以转化为对相应的坐标环的代数研究。

然而坐标环是一种性质很好的环，它在环论中还有一个专门的名称叫“-代数（-algebra）”

。

由于不是每个交换环都可以成为仿射代数簇的坐标环（例如整数环就是如此），所以格罗腾迪克就想用任意的交换环来构造一种类似于仿射代数簇那样的抽象的几何对象，使得每一个交换环都可以成为这种抽象几何对象的“坐标环”

。

大约在1957年左右，卡吉耶（Cartier）建议用交换环的全体素理想的集合（称为的“素谱”

）来作为与对应的“几何对象”

，它是经典仿射代数簇的抽象推广。

这个简单的想法立即成为了格罗腾迪克重建代数几何基础的出发点。

这是因为每个交换环的素谱连同它上面的结构层一起，都能够组成一个环层空间（，），这个环层空间就是最简单的概形——“仿射概形（affinescheme）”

。

这个仿射概形就是格罗腾迪克心目中的“抽象的几何对象”

。

一旦有了仿射概形，那么对这种新的几何对象的研究就能够转化为对任意交换环的代数研究，这就将极大地拓展这种新几何的适用范围，实现人们长久以来梦寐以求的将代数几何与代数数论统一起来的梦想。

概形就是局部同构于仿射概形的环层空间，或者也可以将概形粗略地理解为是将一些仿射概形经过适当的“粘贴”

后而得到的。

由于仿射概形是仿射代数簇的推广，因此很明显：概形确实是经典代数簇的抽象推广。